Question

（本题12分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

（1）用x的代数式表示t为：t= ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2= ；当 ＜x＜ 时，y2=100；

（2）当该公司在国内销售量是国外销量的两倍时，问总利润是多少？

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

 

Answer 1

（1） 6﹣x；5x+80；4，6;（2） 国内、国外的销售量各为4千件、2千件时总利润为64万元;（3） 每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

【解析】

试题分析：（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系及t=6﹣x即可求出y2与x的函数关系：当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100；

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

试题解析：【解析】
（1）由题意，得x+t=6，

∴t=6﹣x；

∵，

∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，

此时y2=100．

（2）国内、国外的销售量各为4千件、2千件时总利润为64万元.

（3）分三种情况：

①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x2+40x+480；

②当2＜x≤4时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x2+80x+480；

③当4＜x＜6时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x2+30x+600；

综上可知，w=；

当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；

当2＜x≤4时，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此时x=4时，w最大=640；

当4＜x＜6时，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；

∴x=4时，w最大=640．

故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

考点：1.利用二次函数的性质解决实际问题；2.利用一次函数解决问题.