Question

已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，

16 3

3

）
（1）求：抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8）将C点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出P点坐标，在Rt△P′EG中，根据勾股定理便可求出y关于x的函数关系式；
（3）分别令EP′⊥x轴、FP′⊥x轴、EF⊥x轴进行分类讨论，便可得出满足题意得P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8）（1分）
把(0，

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)代入得a=

3

3

（1分）
∴y=

3

3

（x-2）（x-8）
即y=

3

3

x2-

10 3

3

x+

16 3

3

（2分）

（2）顶点P（5，-3

3

)
AP=AB=BP=6（1分）
∴∠PAP′=60°（1分）
作P′G⊥AP于G，
则AG=

1

2

x，P′G=

3

2

x
又P′E=PE=y，EG=6-

1

2

x-y
在Rt△P′EG中，(

3

2

x)2+(6-

1

2

x-y)2=y2（2分）
∴y=

x2-6x+36

12-x

（0＜x＜6）（2分）

（3）①若EP′⊥x轴，则6-y=2x，6-

x2-6x+36

12-x

=2x，
x₁=12-6

3

，x₂=12+6

3

（舍去）（1分）
∴P′（14-6

3

，0）
②若FP′⊥x轴，则6-y=

1

2

x，6-

x2-6x+36

12-x

=

1

2

x，
x₃=6

3

-6，x₄=-6

3

-6（舍去）（1分）
∴P′（6

3

-4，0）
③若EF⊥x轴，显然不可能．
∴P′（14-6

3

，0）或P′（6

3

-4，0）（1分）

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和勾股定理等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．