Question

已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴交于点A，E，F分别是线段AB，AC上的点，且OE⊥OF
（1）求A，B，C三点的坐标
（2）猜测△EOF是什么三角形，并证明你的猜测
（3）若EF与OA交于点G，试探究∠AEO与∠AGF的关系，结论：∠AEO______∠AGF（填上＞，＜，=），并请证明
（4）当点E，F分别在线段AB，AC上运动时，四边形AEOF的面积是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请求其值的变化范围．

Answer 1

解：（1）令x=0得y=2，∴A（0，2）
令y=0得，
解得x=±2，
∴B（-2，0），C（2，0）

（2）猜测△EOF是等腰直角三角形        
证明：∵A（0，2），B（-2，0），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，BC=4，由勾股定理可以求出AB=BC=2，
∴BC²=AB²+AC²
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=90°，∠OBA=∠OCA=45°
同理∠OCA=∠OAC=45°
∴∠OAB=∠OCA=45°
∵OE⊥OF
∴∠EOF=90°，即∠AOE+∠AOF=90°，
∵∠AOF+∠FOC=90°
∴∠AOE=∠FOC
∴△EOA≌△FOC，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形．

（3）∠AEO=∠AGF
证明：∵△EOF是等腰直角三角形
∴∠OEF=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠OEF=∠BAO，
∵AGF=∠BAO+∠AEG，∠AEO=∠AEG+∠OEF，
∴∠BAO+∠AEG=∠AEG+∠OEF，
即∠AEO=∠AGF
故答案为：=．

（ 4 ） 四边形AEOF的面积不会发生变化．
证明：∵△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF，
∵S_{四边形EOFA}=S_△AOE+S_△AOF
∴S_{四边形EOFA}=S_△AOF+S_△OFC，
∴S_{四边形EOFA}=S_△AOC，
∵S_△AOC是定值
∴当点E，F运动时，四边形AEOF的面积不发生变化．

分析：（1）当x=0时，求出y的值就可以求出A点的坐标，当y=0时，求出x的值就可以求出点B、C的坐标．
（2）由（1）的结论可以求出OA、OB、OC、AB、AC的长度，由勾股定理的逆定理可以证明△ABC是等腰直角三角形，进而可以证明△OEA≌△OFC，从而证明△EOF是等腰直角三角形．
（3）由（2）的结论外角与内角的关系可以得出∠AEO=∠OEF+∠AEG与∠AGF=∠BAG+∠AEG，再由∠BAO=∠OEF=45°，从而可以得出∠AEO与∠AGF的大小关系．
（4）由（2）可知△EOA≌△FOC，可以得出S_△EOA=S_△FOC，则四边形AEOF的面积就等于S_△AOC的面积．从而得出结论．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数图象上的点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理的运用．