Question

【题目】将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．

（1）试确定三角板ABC的面积；

（2）求平移前AB边所在直线的解析式；

（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）S＝；（2）y＝﹣x+；（3）s＝﹣m+，（0≤m≤），Q（0，）．

【解析】

（1）根据点P坐标可得OB的长，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出OA的长，即可求出△ABC的面积；

（2）设AB的解析式y＝kx+b，把A（1，0），B（0，）代入列方程组即可求出b、k的值，进而可得直线AB解析式；

（3）设移动过程中，AB与x轴的交点为D，可得OB=-m，根据含30°角的直角三角形的性质可用m表示出OD的长，即可得出s关于m的关系式，把m=0代入即可求出点Q坐标．

∵与m轴相交于点P（，0），

∴m=时，s=0，

∴OB＝，

∵∠ABC＝30°，

∴AB=2OA，

∴OA2+OB2=AB2，即OA2+3=4OA2，

解得：OA=1，（负值舍去）

∴S△ABC＝＝．

（2）∵B（0，），A（1，0），

设AB的解析式y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+；

（3）设移动过程中，AB与x轴的交点为D，

∵OB=，平移的距离为m，

∴平移后OB＝﹣m，

∵∠ABC=30°，

∴BD=2OD，

∴OD2+OB2=BD2，即OD2+（﹣m）2=4OD2

∴OD＝1﹣m，

∵s在第一象限，OB=，

∴0≤m≤，

∴s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+（0≤m≤），

当m＝0时，s＝，

∴Q（0，）．