Question

如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D，边A′B交线段CD于H，若BH=DH，则△BCC′的面积是    ．

Answer 1

【答案】分析：作HE⊥AB于E，CF⊥BC′于F，设BH=x，则DH=x，在Rt△BEH中，根据勾股定理得到BE²+HE²=BH²，即（2-x）²+1²=x²，可解得x=，即BH=；再根据旋转的性质得到∠ABA′=∠CBC′，BC′=BC=1，根据相似三角形的判定方法易得Rt△BEH∽Rt△BFC，则HE：FC=BH：BC，即1：FC=：1，可求出FC，然后利用三角形的面积公式计算△BCC′的面积．
解答：解：作HE⊥AB于E，CF⊥BC′于F，如图，
设BH=x，则DH=x，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，
∴AE=DH=x，HE=AD=1，
∴BE=AB-AE=2-x，
在Rt△BEH中，∵BE²+HE²=BH²，即（2-x）²+1²=x²，
∴x=，即BH=，
∵矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D，
∴∠ABA′=∠CBC′，BC′=BC=1，
∴Rt△BEH∽Rt△BFC，
∴HE：FC=BH：BC，即1：FC=：1，
∴FC=，
∴△BCC′的面积=BC′•FC=×1×=．
故答案为．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．