Question

已知：关于x的一元二次方程x²-（2+m）x+1+m=0，
①求证：方程有两个实数根；
②设m＜0，且方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是关于m的函数，且，求这个函数的解析式；
③在②的条件下，利用函数图象求关于m的方程y+m-3=0的解．

Answer 1

【答案】分析：①根据一元二次方程的根的判别式△≥0来证明即可，
②先求出方程的两根，然后代入函数式即可．
③在②的条件下把y代入方程y+m-3=0即可求得答案．
解答：解：①△=（-1）²（2+m）²-4×1×（1+m）=m²≥0，
∴方程有两个实数根；

②∵方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），
∴x=，
解得x₁=1+m，x₂=1，
∴y==-，
∴这个函数的解析式为y=-．

③y+m-3=0，
∴-+m-3=0，
化简得：m²-3m-4=0，
∴m₁=-1，m₂=4，
又∵m＜0，
∴m=-1．
点评：本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
同时重点考查了函数和方程的解，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．