Question

设x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，且求得x₁³+x₂³=-14，x₁⁴+x₂⁴=34，则x₁⁵+x₂⁵=

1. A.
   -30
2. B.
   -34
3. C.
   -80
4. D.
   -82

Answer 1

D
分析：根据x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，得出x₁+x₁²=-x₁+1，以及x₂²+x₂=-x₂+1，再求出x₁³+x₂³+x₁⁴+x₂⁴+x₁⁵+x₂⁵的值，进而得出x₁⁵+x₂⁵的值．
解答：∵x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，
∴x₁²+2x₁-1=0，
∴x₁+x₁²=-x₁+1，
∴x₂²+x₂=-x₂+1，
∵x₁³+x₂³+x₁⁴+x₂⁴+x₁⁵+x₂⁵
=x₁³+x₁⁴+x₁⁵+x₂³+x₂⁴+x₂⁵
=x₁³（1+x₁+x₁²）+x₂³（1+x₂+x₂²）
=x₁³（1-x₁+1）+x₂³（1-x₂+1）
=-x₁⁴+2x₁³-x₂⁴+2x₂³
=-（x₁⁴+x₂⁴）+2（x₁³+x₂³）
=-34+2×（-14）
=-62，
∴x₁⁵+x₂⁵
=-62-（x₁³+x₂³+x₁⁴+x₂⁴）
=-62-34+14=82．
故选：D．
点评：此题主要考查了一元二次方程解的性质，根据题意得出x₁³+x₂³+x₁⁴+x₂⁴+x₁⁵+x₂⁵的值是解决问题的关键．