Question

(本小题10分)已知抛物线：．点F(1，1)．
(Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)
①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：
②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；
(Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．
恒成立，求m的最大值．

Answer 1

解 (I)∵，
∴抛物线的顶点坐标为()．
(II)①根据题意，可得点A(0，1)，
∵F(1，1)．
∴AB∥x轴．得AF=BF=1，

②成立．
理由如下：

如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（）
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得

又点P（）在抛物线上，
得，即
∴
即．
过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N，
同理可得．
图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF
有
这里，
∴
即
(Ⅲ) 令，
设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，
∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，

观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，
∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。
可得当时．所对应的即为m的最大值．
于是，将带入，
有
解得或（舍）
∴
此时，，得
解得，
∴m的最大值为8

解析