Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC与Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR，设AP=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，连接RB．
（1）当x=2时，求y的值；
（2）求证：QR∥AB；
（3）当R落在BC边上时，判断四边形PQRB的形状，并求出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形的性质以及直角三角形中30°所对边与斜边的关系得出即可；
（2）首先得出∠APQ=60°，进而得出∠PQR=60°，即可得出∠APQ=∠PQR，得出即可；
（3）首先利用四边形对边之间的关系得出四边形PQRB是平行四边形，进而得出QR=PQ，即可得出平行四边形PQRB是菱形，进而利用菱形的性质求出即可．

解答：解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，∴QP=

1

2

AP=1，
∴等边三角形PQR的高为：

3

2

，
此时△PQR在△ABC内，y=S_△PQR=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；

（2）证明：∵PQ⊥AC，∠A=30°，
∴∠APQ=60°，
∵等边三角形PQR，
∴∠PQR=60°，
∴∠APQ=∠PQR，
∴QR∥BC；

（3）当R在BC上时，∵PQ⊥AC，∴∠AQP=90°，
∵∠C=90°，∴∠AQP=∠C，∴PQ∥BC，
∵QR∥AB，∴四边形PQRB是平行四边形，
∵△PQR是等边三角形，∴QR=PQ，
∴平行四边形PQRB是菱形，
∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=PB=

1

2

x，
∴x+

1

2

x=10，
解得：x=

20

3

，
当R落在BC边上时，四边形PQRB是菱形，此时x的值是

20

3

．

点评：此题主要考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练根据利用等边三角形的性质得出是解题关键．