Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG²+FH²的值．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE²+OH²=EH²=9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=2²，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG²+FH²的值

解答：解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=

1

2

BD=3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF=GH=

1

2

AC=3，FG=

1

2

BD=3，
∴EH=EF=GH=FG=3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE²+OH²=EH²=9，
等式两边同时乘以4得：4OE²+4OH²=9×4=36，
∴（2OE）²+（2OH）²=36，
即EG²+FH²=36．

点评：此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到
EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题．