Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证明AE=DF；
（2）首先证明四边形AEFD为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件求为邻边相等即AE=AD，即可求出相应的t值．

解答：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；

（2）解：能，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AB=BC•tan30°=5

3

×

3

3

=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=

10

3

．
即当t=

10

3

时，四边形AEFD为菱形．

点评：本题考查了菱形的性质和菱形的判定定理，以及含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，难度适宜．