Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当

AP

AB

的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ=45°，即可证得∠CBE=45°；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得

AP

AB

的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：∵△PFD∽△BFP
∴

PB

BF

=

PD

PF

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A
∴△DAP∽△PBF
∴

PD

PF

=

AP

BF

∴PA=PB
∴当

AP

AB

=

1

2

时，△PFD∽△BFP．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．