Question

如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，H是BC延长线上的一点，EG⊥AE于点E，交边CD于G，
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）延长EG交∠DCH的平分线于F，则AE与EF的数量关系是

AE=EF

；
（3）若E为线段BC上的任意一点，则它们之间的关系是否还能成立？若成立，请给予证明；若不能成立，则举一个反例．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出∠B=∠ECG=90°，求出∠BAE=∠CEG，根据相似三角形判定推出即可．
（2）过F作FM⊥BC于M，求出FM=CM，证△ABE∽△EMF，得出比例式，求出AB=BC=EM，BE=FM，根据勾股定理求出即可．
（3）过F作FM⊥BC于M，求出FM=CM，证△ABE∽△EMF，得出比例式，求出AB=BC=EM，BE=FM，根据勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ECG=90°，
∵AE⊥EG，
∴∠AEG=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEG=90°，
∴∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△ECG．

（2）
解：AE=EF，
理由是：过F作FM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵∠ECG=90°，
∴∠DCM=90°，
∵CF平分∠DCH，
∴∠FCM=∠DCF=45°，
∴∠CFM=45°=∠FCM，
∴CM=FM，
∵∠B=∠FME=90°，∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△EMF，
∴

AB

EM

=

BE

FM

，
∵AB=BC=BE+CE，FM=CM，
∴

BC

EC+CM

=

BE

FM

，
∴

BE+EC

EC+FM

=

BE

FM

，
∴FM=BE=CM，
∴AB=BC=EM，
由勾股定理得：AE²=AB²+BE²，EF²=EM²+FM²，
∴AE=EF，
故答案为：AE=EF．

（3）E为线段BC上的任意一点，它们之间的关系仍成立，
证明：理由是：过F作FM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵∠ECG=90°，
∴∠DCM=90°，
∵CF平分∠DCH，
∴∠FCM=∠DCF=45°，
∴∠CFM=45°=∠FCM，
∴CM=FM，
∵∠B=∠FME=90°，∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△EMF，
∴

AB

EM

=

BE

FM

，
∵AB=BC=BE+CE，FM=CM，
∴FM=BE=CM，
∴AB=BC=EM，
由勾股定理得：AE²=AB²+BE²，EF²=EM²+FM²，
∴AE=EF．

点评：本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．