Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，∠BEC=90°．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若EC=4，且

BE

AB

=

3

，求四边形ABCE的面积．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点F，连接EF，要证明BE平分∠ABC，只需证明四边形ABFE为菱形，因为AE和BF既平行又相等，可先证平行四边形，又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证EF=FB，即四边形ABFE为菱形，利用菱形的性质可知对角线平分对角，从而得出结论；
（2）由图象可知四边形ABCE为梯形，所以要求面积，必须求出上下底和高，而上下底和高都可利用题中已知条件，借助于三角函数来求出．

解答：（1）证明：取BC的中点F，连接EF．
∵E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BF，即四边形ABFE为平行四边形．（1分）
又∵∠BEC=90°，F为BC的中点，
∴EF=

1

2

BC=BF．（2分）
∴四边形ABFE为菱形．（3分）
∴BE平分∠ABC．（4分）

（2）解：过点E作EH⊥BC，垂足为H．
∵四边形ABFE为菱形，
∴AB=BF=

1

2

BC．（5分）
∴BE=

3

AB，
∵

BE

BC

=

3

2

又∵∠BEC=90°，
∴∠BCE=60度．（6分）
∵BC=2EC=8，EH=EC•sin60°=4×

3

2

=2

3

．（8分）
∴S_{四边形ABCE}=

1

2

（AE+BC）•EH=

1

2

（8+4）×2

3

=12

3

．（9分）

点评：此题考查了菱形的判定以及三角函数的应用，考查比较全面，难易程度适中．