Question

24、已知：如图，△ABC中，∠A的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F．求证：AB-AC=2CF．

Answer 1

分析：根据角平分线的性质首先得出DF=DM，再利用全等三角形的判定定理求出△AFD≌△AMD，即可得出AF=AM，再利用垂直平分线的性质得出CD=BD，进而得出Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得出答案．

解答：证明：连接CD，DB，作DM，⊥AB于一点M，
∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
∵AD=AD，
∠AFD=∠AMD=90°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AF=AM，
∵DE垂直平分线BC，
∴CD=BD（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM，
∴BM=CF，
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AC+2CF，
∴AB-AC=2CF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键．