Question

抛物线y=ax²（a≥1）的图象上两点A、B的横坐标为-1和2．点O是坐标原点若△AOB是Rt△，则△AOB的周长是

 

．

Answer 1

分析：作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，作AE⊥BD于E．求出BE的长，根据勾股定理求出AB的长、AO的长、BO的长将其相加即可求出△AOB的周长．

解答：解：作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，作AE⊥BD于E．
将x=-1与x=2分别代入y=ax²；
得A（-1，a），B（2，4a）．
于是BE=4a-a=3a；
在Rt△ACO中，AO=

12+a2

=

1+a2

；
在Rt△BOD中，BO=

22+(4a)2

=

4+16a2

=2

1+4a2

；
在Rt△BAE中，AB=

32+(3a)2

=

9+9a2

=3

1+a2

；
故△AOB的周长是AO+BO+AB=

1+a2

+2

1+4a2

+3

1+a2

=2

1+4a2

+4

1+a2

．
故答案为2

1+4a2

+4

1+a2

．

点评：此题考查了二次函数的图象和图象上点的坐标特征，将原题转化为关于直角三角形的问题，利用勾股定理解答是解题的关键．