题目内容

已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．

（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径（PO＞0）的⊙P，试求
①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．

分析：（1）根据菱形性质得出∠ABD=∠ADB，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，求出FM长，得出CP取最小值时PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可；
（3））①过P作PG⊥BC于G，设PB=x，当P在线段BO上时，PO=8-x，PG=

x，当OP=PB时，⊙P经过P点，8-x=x，求出x的值，即可得出答案；②根据①的结果即可得出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP=∠DFP=90°，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如图1，连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，

则FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PM，
∴PE+PF=PM+PF=FM，
在直角三角形AOB中，BO=

BD=8，
∴AO=

AB2-BO2

102-82

=6，

∴AC=2AO=12，
∵S_菱形ABCD=

AC•BD=BC•FM，
∴FM=

，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以当CP⊥BD时，即P和O重合时，PC最小，此时BP=BO=

BD=8．

（3）①过P作PG⊥BC于G，设PB=x，当P在线段BO上时，PO=8-x，PG=

x，
如图2、当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，8-x=

x，x=5；
如图3、当OP=PB时，⊙P经过B点，8-x=x，x=4，

即当0＜x≤4或x=5时，⊙P与线段BC有一个公共点，
∴⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围是0＜BP≤4或BP=5时；
②由①知：当4＜x＜5时，⊙P与线段BC有两个公共点，
当P在线段OD上时，PO=x-8，PG=

x，
当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，x-8=

x，
x=20＞BD，
即此时⊙P不可能与直线BC相切，更不可能相交，
综合所述，4＜BP＜5时，⊙P与直线BC有两个公共点，
即⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围是4＜BP＜5．

点评：本题考查了切线的判定，直线与圆的位置关系，解一元一次方程等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，注意：要进行分类讨论啊．

练习册系列答案

新疆中考名卷系列答案

如图，已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD、AC交于点O，AC=12，点P在射线BD上运动，过点P分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）对角线BD长为________；
（2）设PB=x，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求x的值．

如图，已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD、AC交于点O，AC=12，点P在射线BD上运动，过点P分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）对角线BD长为________；（2）设PB=x，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求x的值．