Question

如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

（3）如图9（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，

∴    解得：  

                      

抛物线的解析式为：  

∵由，解得：

∴          

∵由

∴D（1,4）           

（2）∵四边形AEBF是平行四边形，

∴BF=AE．

设直线BD的解析式为：，则
∵B（0，3），D（1,4）

∴         解得：  

                    

∴直线BD的解析式为： 

当y=0时，x=-3   ∴E（-3，0）， ∴OE=3，

∵A（-1，0）

∴OA=1，   ∴AE=2     ∴BF=2，

∴F的横坐标为2，  ∴y=3，   ∴F（2，3）；

（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），

∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3 

∴S_△PQA=S_{四边形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA

=

=

∴S_△PQA=

         

∴当时，S_△PQA的最大面积为，

此时Q