Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，

直线：与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（－4,1），⊙B与

轴相切于点M.

1.求点A的坐标及∠CAO的度数

2.⊙B以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，同时，直线绕点A逆时针匀速旋转.当⊙B第一次与⊙O相切时，直线也恰好与⊙B第一次相切，问：直线绕点A

每秒旋转多少度？

3.如图2，过A、O、C三点作⊙O₁，点E为劣弧AO上一点，连接EC、EA、EO，

当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合)，的值是否发生变化？如

果不变，求其值；如果变化，说明理由.

 

Answer 1

 

1.当时，，

∴A（,0）.----------------------------------------------------------1分

当时，，

∴C（,0），

∴OA＝OC，

∴∠CAO＝∠OCA.---------------------------------------------------------2分

∵OA⊥OC，

∴∠CAO＝45°.----------------------------------------------------------3分

2.如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处时与⊙O第一次相切.

设⊙B₁与x轴相切于点N，连接OB₁，

 

 

 

 

 

 

 

 

∵点B的坐标为（－4,1），⊙B与轴相切于点M，

∴⊙B的半径是1，OM＝4，

∴B₁N＝1.

∵⊙O的半径是，

∴OB₁＝，

∴ON＝，

∴MN＝OM―ON＝4―1＝3.

∴当⊙B第一次与⊙O相切时,t＝3.----------------------------------------6分

当⊙B第一次与⊙O相切时，直线旋转到直线AP的位置，P是直线与⊙B₁的切点.

∵ON＝B₁N＝1，∠B₁NO＝90°，

∴∠B₁ON＝∠OB₁N＝45°.

∵OA＝OB₁＝，

∴∠OAB₁＝∠OB₁A＝∠B₁ON＝22.5°.------------------------------------7分

∵AP、AN都是⊙B1的切线，

∴AP＝AN，∠B₁PA＝∠B₁NA＝90°.

∴△B₁AP≌△B₁AN，

∴∠B₁AP＝∠B₁AN＝22.5°，

∴∠PAN＝45°.----------------------------------------------------------8分

∴∠PAC＝∠PAN＋∠NAC＝90°.

∴直线旋转角是90°.---------------------------------------------------9分

∴旋转的速度＝90°÷3＝30°.--------------------------------------------10分

3.的值不变，等于． -------------------------------------11分

如图，在CE上截取CK=EA，连接OK，--------------------------------------12分

 

 

 

 

 

 

∵∠OAE=∠OCK，OA=OC．

∴△OAE≌△OCK．

∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，

∴∠EOK=∠AOC=90°．

∴EK=EO，-----------------------------------------------------------13分

∴--------------------

 解析:略