Question

（2012•密云县二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．设CD=CB=

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，AD=9，AB=15．
求∠B的余弦值及AC的长．

Answer 1

分析：在AB上截取AF=AD，由AC为角平分线得到一对角相等，再由公共边AC，利用SAS可得出三角形ADC与三角形AFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD=CF，由CD=CB，得到CF=CB，即三角形BCF为等腰三角形，再由CE垂直于BF，利用三线合一得到E为BF的中点，进而由AE-AF求出EF的长，即为EB的长，在三角形CEB中，利用锐角三角形函数定义及BC与EB的长，求出∠B的余弦值，再利用勾股定理求出CE的长，在直角三角形ACE中，由AE与CE的长，利用勾股定理即可求出AC的长．

解答：解：如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△AFC中，
∵

AD=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
又∵AD=9，CD=CB=

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，
∴AF=AD=9，CF=CD=CB=

34

，
∴△CBF是等腰三角形，
又∵CE⊥AB于E，AB=15，
∴EF=EB=

1

2

BF=

1

2

（AB-AF）=3，
在Rt△BEC中，cosB=

BE

BC

=

3

34

=

3 34

34

，
在Rt△BEC中，CB=

34

，BE=3，
由勾股定理得：CE=

CB2-BE2

=5，
在Rt△AEC中，CE=5，AE=AF+EF=9+3=12，
由勾股定理得：AC=

AE2+EC2

=13，
∴∠B的余弦值为

3 34

34

，AC的长为13．

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，利用了转化及数形结合的思想，其中作出相应的辅助线是本题的突破点．