题目内容

如图，抛物线y= $数学公式$ x²-x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=-2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作?ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．

解：（1）∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²-x+a其顶点在直线y=-2x上．
∴抛物线y= $\text{[math]}$ x²-x+a，
= $\text{[math]}$ （x²-2x）+a，
= $\text{[math]}$ （x-1）²- $\text{[math]}$ +a，
∴顶点坐标为：（1，- $\text{[math]}$ +a），
∴y=-2x，- $\text{[math]}$ +a=-2×1，
∴a=- $\text{[math]}$ ；

（2）二次函数解析式为：y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ，
∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B，
∴0= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ，
整理得：x²-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，

在△AOC和△BDE中
∵ $\text{[math]}$
∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ，
∴图象与y轴交点坐标为：（0，- $\text{[math]}$ ），
∴CO= $\text{[math]}$ ，∴DE= $\text{[math]}$ ，
D点的坐标为：（2， $\text{[math]}$ ），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，- $\text{[math]}$ ），
代入解析式y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ，
∵左边=- $\text{[math]}$ ，右边= $\text{[math]}$ ×4-2- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴D′点在函数图象上．
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键．