Question

如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠DAB=∠GAE=90°，
∴∠GAD=∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD．
分析：（1）由四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，易证得△GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．