Question

如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
（1）若∠A=x，∠EDF=y，求y与x的函数关系式．
（2）若∠A=90°，AB=8，BC=10，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）连接OE、OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠EOF=2y，∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠A+∠EOF=360°-90°-90°=180°，
∴y=90°-x，
答：y与x的函数关系式是y=90°-x．

（2）设圆O的半径是r．
由勾股定理得：AC==6，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AE=AF，CD=CF，BE=BD，∠OEA=∠OFA=∠A=90°，OE=OF，
∴四边形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=AF=r，
∴AC-r+AB-r=BC，
∴6-r+8-r=10，
∴r=2．
答：⊙O的半径是2．
分析：（1）连接OE、OF，求出∠EOF=2y，∠OEA=∠OFA=90°，根据四边形的内角和定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出AC，推出AE=AF，CD=CF，BE=BD，∠OEA=∠OFA=∠A=90°，OE=OF，证四边形OEAF是正方形，根据AC-r+AB-r=BC代入求出即可．
点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，四边形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．