Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．

Answer 1

考点：

切线的判定．

分析：

（1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；  

（2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可．

解答：

（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，

证明：连接OD，DE，

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°，

∵∠A=∠CBD，

∴∠A+∠CDB=90°，

∵OD=OA，

∴∠A=∠ADO，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣90°=90°，

∴OD⊥BD，

∵OD为半径，

∴BD是⊙O切线；

（2）解：∵AD：AO=6：5，

∴=，

∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，

∵AE是直径，

∴∠ADE=∠C=90°，

∵∠CBD=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，

∵BC=3，

∴BD=．

点评：

本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．