Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）当AB=9，BC=6时，求线段DE的长．

Answer 1

（1）证明，连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠ADE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切；

（2）∵AB=9，BC=6，
∴DB=3，
∴AD==6，
∵S_△ADC=AD•DC=9，
∴DE==2．
分析：（1）连接AD，OD，证明OD⊥DE即可证明直线DE与⊙O相切；
（2）首先利用勾股定理求出AD的长，利用三角形的面积为定值即可求出DE的长．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，解答（2）时，还可以利用射影定理来求CE的长度．