Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕B点作顺时针旋转得到△DBE，点C、B、D在同一直线上．经过C、D、E三点作⊙O，延长EB交⊙O于F，连结FC．
（1）请判猜想三角形BCF与△BDE关系，并证明你的结论；
（2）若BC=3，AC=4．求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可得BE=BC，再由∠CBF=∠EBD，∠BCF=∠BED，利用AAS可证明△BCF≌△BDE；
（2）连接DF，由旋转的性质可得BE=BC=3，DE=AC=4，∠E=∠ACB=90°，在Rt△BED中求出BD，继而得出BF，在Rt△EFD中求出DF，继而可得⊙O的半径．

解答：（1）答：△BCF≌△BDE．
证明如下：
∵△DBE是由△ABC旋转得到，
∴BC=BE，
在△BCF和△BED中，

∠CBF=∠EBD ∠BCF=∠BED BC=BE

，
∴△BFC≌△BDE（AAS）．

（2）解：连结DF，

∵△DBE是由△ABC旋转得到，
∴△DBE≌△ABC，
∴BE=BC=3，DE=AC=4，∠E=∠ACB=90°，
∴DF为⊙O的直径，且BD=

BE2+DE2

=

32+42

=5，
∵△BFC≌△BDE，
∴BF=BD=5，
∴EF=BF+BE=5+3=8，
在Rt△DEF中，DF=

DE2+EF2

=

42+82

=4

5

，
∴⊙O的半径为2

5

．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，解答本题需要同学们掌握基本的性质定理，融会贯通，注意数形结合思想的运用．