Question

如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为-1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为

（

3

2

，

25

8

）

．

Answer 1

分析：根据点A、B的横坐标求出OA、OB的长，再根据△AOC和△COB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OC的长度，然后写出点C的坐标，然后设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），把点C的坐标代入求出a的值，再整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．

解答：解：∵A、B两点的横坐标分别为-1，4，
∴OA=1，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵CO⊥AB，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠CAB=∠BCO，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

AO

OC

=

OC

OB

，
即

1

OC

=

OC

4

，
解得OC=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵A、B两点的横坐标分别为-1，4，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把点C的坐标代入得，a（0+1）（0-4）=2，
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

（x²-3x-4）=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴此抛物线顶点的坐标为（

3

2

，

25

8

）．
故答案为：（

3

2

，

25

8

）．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，利用相似三角形对应边成比例求出OC的长得到点C的坐标是解题的关键，利用抛物线交点式形式更简单．