Question

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交直线BC于M． (1) 如图(1)，若∠A＝40°，求∠NMB的大小． (2) 如图(2)，如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小． (3) 你发现了什么规律？写出猜想，并证明之． (4) 如图(3)，如果将(1)中的∠A改为钝角，那么对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，所以∠B＝(180°－∠A)＝(180°－40°)＝70°． 　　又∠BNM＝90°，所以∠NMB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°．
(2)	同理可求得∠NMB＝35°．
(3)	猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线的夹角等于顶角的一半，即∠NMB＝∠A． 　　证明：设∠A＝α． 　　因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝(180°－α)． 　　因为∠BNM＝90°，所以∠NMB＝90°－∠B＝90°－(180°－α)＝α，故∠NMB＝∠A．
(4)	由(3)中的证明知：若将(1)中的∠A改为钝角，这个规律仍然成立，不必修改．