Question

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AB=2，AC=

3

，D为圆上一点，若AD=

2

，则∠DAC=

15°或75°

．

Answer 1

分析：作OH⊥AC，连结OD，根据垂径定理得到AH=

3

2

，在Rt△AHO中，根据余弦的定义可得到∠OAH=30°，由于OA²+OD²=AD²，根据勾股定理的逆定理得到△OAD为等腰直角三角形，则∠OAD=45°，然后分类讨论：当AC和AD在AB的两侧，∠DAC=∠DAO+∠OAC；当AC和AD在AB的同侧，∠DAC=∠DAO-∠OAC．

解答：解：作OH⊥AC，连结OD，
则AH=CH=

1

2

AC=

3

2

，
在Rt△AHO中，OA=1，AH=

3

2

，
∴cos∠OAH=

AH

OA

=

3

2

，
∴∠OAH=30°，
∵OA=OD=1，AD=

2

，
∴OA²+OD²=AD²，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴∠OAD=45°，
当AC和AD在AB的两侧，∠DAC=∠DAO+∠OAC=45°+30°=75°，
当AC和AD在AB的同侧，∠DAC=∠DAO-∠OAC=45°-30°=15°，
∴∠DAC为15°或75°．
故答案为15°或75°．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了特殊角的三角函数值和勾股定理的逆定理．