题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当AM=0.5时，求线段QM的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围．
【答案】分析：（1）利用直线平行得出Rt△AQM∽Rt△CAD，再利用对应边的比值相等求出即可；
（2）点M在线段AB上运动时，以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出；
（3）分当0≤t≤2时与当6≥t＞2时，进行讨论得出符合要求的答案．
解答：
解：（1）∵AB∥DC，
∴Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴
．
即
，
∴QM=1．
（2）∵根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
，
∴
；
③当2＜t≤6时，
可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，
此时t=4，
综上所述，t=1或
或4；
（3）如图1，当0≤t≤2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得
．
即
，
∴QM=2t．
∴QE=4-2t．
∴S△PQC=
PC•QE=-t2+2t，
即y=-t2+2t，
当6≥t＞2时，如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t．
由题意得，BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA．
∴四边形AMQP为矩形．
∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2，
∴S△PQC=
PQ•CH=
，
即y=
，
综上所述y=-t2+2t（0≤t≤2），
或y=
（2＜t≤6）．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键．
（2）点M在线段AB上运动时，以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出；
（3）分当0≤t≤2时与当6≥t＞2时，进行讨论得出符合要求的答案．
解答：
解：（1）∵AB∥DC，∴Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴
．即
，∴QM=1．
（2）∵根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
，由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
，∴
；③当2＜t≤6时，
可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，
此时t=4，
综上所述，t=1或
或4；（3）如图1，当0≤t≤2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得
．即
，∴QM=2t．
∴QE=4-2t．
∴S△PQC=
PC•QE=-t2+2t，即y=-t2+2t，
当6≥t＞2时，如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t．
由题意得，BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA．
∴四边形AMQP为矩形．
∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2，
∴S△PQC=
PQ•CH=，即y=
，综上所述y=-t2+2t（0≤t≤2），
或y=
（2＜t≤6）．点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．
ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2．
（2013•深圳二模）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切DC边于E点，AD=3cm，BC=5cm．求⊙O的面积．