Question

如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，E为BC的中点，过E点的圆O与BD相切于点P，圆O与直线AC，BC分别交于点F，G．
（1）求证：△PCD∽△EPF；
（2）如果AB=AD，AC=6，BD=8（如图2）．求圆O的直径．

Answer 1

【答案】分析：（1）由弦切角定理得，∠DPC=∠PEF，由平行四边形的性质和点E是BC的中点得PE∥CD，已知了∠CPE=∠PCD，可证得△PCD∽△EPF．
（2）由AB=AD，可证得平行四边形ABCD是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是BC中点，可求得BE、EC的长，再根据切割线定理，可求出BG的长，进而可求出CG的长．在⊙O中，根据相交弦定理，可得PC•CF=EC•CG，其中PC、EC、CG的长已求得，由此可求出CF的长．也就求出了PF即圆的直径．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BP=DP，
又∵BE=CE，
∴PE∥DC，
∴∠CPE=∠PCD，
∵BD切⊙O于P，
∴∠DPC=∠PEF，
∴△PCD∽△EPF；

（2）解：∵平行四边形ABCD中，AB=AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，PB=，
BD=×8=4，PC=，
AC=×6=3，
∴BC=5，
∴BE=CE=，
∵⊙O切BD于P，AC⊥BD，
∴PF为⊙O的直径，
∵PE²=BE•BG，
∴，
∴，
∴OG=BG-BC=，
∵PC•CF=EC•CG，
∴，
∴，
∴⊙O的直径为．
点评：本题综合利用了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，切割线定理，圆周角定理，相交弦定理求解．