Question

梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：OE∥AB；
（2）若EH=CD，求证：AB是⊙O的切线；
（3）若BE=4BH，EC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB；

（2）证明：作OF⊥AB于F，如图，
∵OE∥HF，
而∠EHF=90°，
∴四边形OEHF为矩形，
∴OF=EH，
∵EH=CD，
∴OF=CD，
∴AB是⊙O的切线；

（3）解：连接DE，如图，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴BH：CE=BE：CD，
∵BE=4BH，CE=1
∴CD==4，
∴⊙O的半径为2．
分析：（1）根据等腰梯形的性质得∠B=∠C，而∠OEC=∠C，则∠OEC=∠B，根据平行线的判定即可得到OE∥AB；
（2）作OF⊥AB于F，易得四边形OEHF为矩形，则OF=EH，而EH=CD，所以OF=CD，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（3）连接DE，由于CD是直径，根据圆周角定理得到∠DEC=90°，易证得△EHB∽△DEC，则BH：CE=BE：CD，而BE=4BH，CE=1，可计算出CD=4，所以⊙O的半径为2．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练切线的判定与性质和圆周角定理；会利用勾股定理和三角形的相似比进行几何计算．