Question

【题目】如图，已知和均为的等边三角形，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．

（1）当，，三点在同一直线上时（如图1），求证：为中点；

（2）将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时（如图2），求证：为等边三角形；

（3）将图2中绕点继续顺时针旋转多少度时，点恰好第一次位于线段中点，试作出图形并直接写出绕点继续旋转的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）绕点继续顺时针旋转30度时，点恰好第一次位于线段中点

【解析】

(1) 根据，点为的中点，可证明，从而，可得到答案；

(2) 先证明，得到，再证由一个角是60°，即证明是等边三角形；

(3) 先证明，证，得到是等边三角形，再利用点恰好第一次位于线段中点，可得到答案.

证明：（1）∵，

∴，，

∵点为的中点，

∴，

在和中，

∴，

∴，即为中点．

（2）∵，

∴，（1）中已经证明，

∴，

∵，，三点在同一直线上，

∴，

∵，，

在和中，

∴．

∴，．

∴为等边三角形（由一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

（3）如图，当绕点继续旋转时，点在线段上．

绕点继续旋转30度时，点恰好第一次位于线段中点．

（附理由：∵，

∴（1）中已经证明，

∴，

∵，，

∴．

又，

∴．

∵，

∴．

∴，．

∴为等边三角形．

∴当点恰好位于线段中点时，，

∴．

∵，

∴，

即绕点继续顺时针旋转30度时，点恰好第一次位于线段中点．