Question

（1）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，交AC于E，交AD于F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如图所示，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，AE=AF，试说明BE平分∠ABC．

Answer 1

（1）解：△AEF是等腰三角形，
理由如下：
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFE=90°-∠ABF，∠DEB=90°-∠DBF，
∴∠AFE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）证明：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFE+∠ABF=90°，∠DEB+∠BED=90°，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠ABF=∠DBF，
∴BF平分∠ABC．
分析：（1）由角平分线的定义得到∠ABF=∠DBF，再利用互为余角的关系和三角形内外角的关系，可以得到∠AEF=∠AFE，由此可判定△AEF是等腰三角形；
（2）若要证明BE平分∠ABC，问题可转化为证明∠ABF=∠CBF即可．
点评：本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质及三角形的内外角的关系，充分利用这些性质得到一组角相等，然后利用等腰三角形的判定即可证明结论．