Question

已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6），且AB＝.

⑴求点B的坐标；

⑵求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

⑶在⑵中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S_△PBC ＝ S_梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：⑴在RtΔABC中，AB＝2，OA＝6

∴OB＝＝2    

又∵点B在x轴的负半轴上，∴B（－2，0）

⑵设所求抛物线的解析式为y＝ax²＋bx＋c，将A(0，6)，B(－2，0)，D(4，6)三点的坐标代入得  ，解得 ，所以             

⑶存在点P使得S_△PBC＝S_梯形ABCD.

理由：设存在点P使得S_△PBC＝S_梯形ABCD.

过D作DE⊥BC于E，则OE＝AD＝4，CE＝OB＝2

∴OC＝OE＋CE＝6，BC＝OC＋OB＝8     

∴S_△PBC＝S_梯形ABCD＝××(8＋4)×6＝18 

设P点的纵坐标为m，则×8×|m|＝18，∴m＝  

令y＝得，解得x₁＝2＋，x₂＝2－  

令y＝－得，解得x₃＝－3，x₂＝7  

综上所述，存在点P使得S_△PBC＝S_梯形ABCD.

点P的坐标为(2＋，)或(2－，)或(－3，－)或(7，－)