题目内容
【题目】如图所示，二次函数
的图象与
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC)是方程
的两个根，且A点坐标为(-6,0)．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE.设AE的长为m，△CEF的面积为s，求S与
之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）S＝
，m的取值范围是0＜m＜8；（3）存在．当m＝4时，S有最大值，S最大值为8，点E的坐标为（2，0），△BCE为等腰三角形．
【解析】
（1）解方程求得：
，根据题意，得点
坐标为
，点
坐标为
，由点
坐标为
，把三点坐标代入解析式列出方程组求解得
的值即可；
（2）过点过点F作FG⊥AB，垂足为G，由
，得出△BEF∽△BAC，利用相似比求出EF， sin∠FEG＝sin∠CAB＝
， S＝S△BCES△BFE=
，求出S与m之间的函数关系式；
（3）利用配方法将（2）中S与m之间的函数关系式写出顶点式，可求S有最大值时，m的值，从而确定点E的坐标和△BCE的形状．
（1）方程
的两个根为2和8.
由于点B在x正半轴上，点C在y轴正半轴上，且
，所以
，
，故
，点坐标为.
因为点坐标为，所以
解得：
，
.
故此二次函数的表达式为.
（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8m，
∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴
．
即
．
∴EF＝
．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．
∴．
∴FG＝＝8m．
∴S＝S△BCES△BFE
＝
（8m）×8（8m）（8m）
＝（8m）（88＋m）
＝（8m）m
＝，自变量m的取值范围是0＜m＜8，
故答案为：S＝，m的取值范围是0＜m＜8．
（3）存在．
理由如下：
∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8．
∵m＝4，
∴点E的坐标为（2，0）．
∴点C在线段BE的垂直平分线上，CE=CB,
∴△BCE为等腰三角形，
故答案为：存在，S最大值＝8，E为（2，0），△BCE为等腰三角形．
