Question

如图，抛物线y=ax²+4与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，AB=4．
（1）求抛物线的解析式； 
（2）以AC为直角边作等腰直角△ACD，AD交抛物线于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线y=ax²+4得出C点坐标，再根据AB=4求出A、B两点的坐标，再把A点坐标代入抛物y=ax²+4即可得出结论；
（2）先根据A、C两点的坐标求出直线AC的解析式及AC的长，当CD⊥AC时，利用待定系数法求出直线AD的解析式，由AC=CD可得出D点坐标，进而得出直线AD的解析式，求出直线AD与抛物线的交点坐标即可；当AD⊥AC时，同理可得出结论．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+4与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∵AB=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴4a+4=0，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4；

（2）方法一：设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（0，4），
∴

-2k+b=0 b=4

，解得

k=2 b=4

，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，AC=

(-2)2+42

=2

5

，
当CD⊥AC时，
设直线CD的解析式为y=-

1

2

x+a，
∵C（0，4），
∴a=4，
∴直线CD的解析式为y=-

1

2

x+4，
设D（x，-

1

2

x+4），
∵AC=CD，
∴CD²=AC²，即x²+（-

1

2

x）²=20，解得x=4或x=-4（舍去）
∴D（4，2），
设直线AD的解析式为y=k₁x+b₁，
∴

-2k1+b1=0 4k1+b1=2

，解得

k1= 1 3 b1= 2 3

，
∴直线AD的解析式为y=

1

3

x+

2

3

，
∴

y= 1 3 x+ 2 3 y=-x2+4

，解得

x= 5 3 y= 11 9

或

x=-2 y=0

（舍去），
∴P（

5

3

，

11

9

）；
当AD⊥AC时，同理可设直线AD的解析式为y=-

1

2

x+m，
∵A（-2，0），
∴1+m=0，解得m=-1，
∴直线AD的解析式为y=-

1

2

x-1，
∴设P（x，-

1

2

x-1），
∵AC=AD，
∴（x+2）²+（-

1

2

x-1）²=20，解得x=-10±

2 105

5

（舍去）．
∴此种情况不存在．
故P点坐标为（

5

3

，

11

9

）．

方法二：过点D作DE垂直y轴，
∵∠ACO+∠CDO=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠ACO=∠CDE，
在△AOC和△CED中

∠AOC=∠CED ∠OCA=∠CDE AC=CD

∴△AOC≌△CED（AAS），
∴CO=ED=4，CE=AO=2，
∴D（4，2），
将A（-2，0），D（4，2）代入y=kx+b得：

-2k+b=0 4k+b=2

，
解得：

k= 1 3 b= 2 3

，
∴AP所在解析式为：y=

1

3

x+

2

3

，
∴将两函数联立得：

y=-x2+4 y= 1 3 x+ 2 3

，
解得：

x1= 5 3 y1= 11 9

，

x2=-2 y2=0

（不合题意舍去），
∴故P点坐标为（

5

3

，

11

9

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，在解答（2）时要进行分类讨论．