Question

如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：

AC

=

BD

．

Answer 1

分析：连结OC、OD，由M，N分别是AO，BO的中点得到OM=ON，再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND，则∠COM=∠DON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到

AC

=

BD

．

解答：证明：连结OC、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC=∠OND=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，

OM=ON OC=OD

，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴

AC

=

BD

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了全等三角形的判定与性质．