Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意得： ∴ 

∴ 把B（0，4）代入上式得：c=4

∴跑抛物线解析式为：.

（2）由题意得：AB=

∴OD=5-3=2   ∴D（2，0）

当四边形ABCD是菱形时C（5，4）

当x=2时，

当x=5时，

∴当四边形ABCD是菱形时，点C和点D都在抛物线上.

（3）如图：延长NM交x轴于F.

则MF⊥x轴于F

∵D（2，0）、C（5，4）

∴OD=2，OE=5，CE=4

设M（t，）

∴N点坐标为(t，t)

∵CE⊥x轴于E  ∴△NDF∽△CDE

∴  即：

∴   ∴

∴

∴当t=时，l最大=，

∴M（，） ∴l最大为，M坐标为（，）.