Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．

⑴ 求CD的长及∠1的度数；

⑵ 设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

⑶ 当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

 

                                                            

Answer 1

 ⑴ 过点A作AH⊥BC于点H ，则AH=AB·=

∴CD=AH=

∵   ∴∠CAD=30°

∵EF∥AC    ∴∠1=∠CAD=30°     …………4分

⑵当点G恰好在BC上时，由折叠可知 △FGE≌△FDE  

∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60°，∴∠GEC=60°

因为△CEG是直角三角形， ∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD  得 , ∴x=

① 当时

∴当x=时，=

② 当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N

∵DE=x  ∴EC=，NE=2

∴NG=GE－NE==

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°

∴MG==

 

 

∴当时，= 

综合两种情形：由于＜ ∴ 当时，y的值最大为 .…………9分

(3)由题意可知:AB=6,分三种情况：

   ①当AE=BE时, t=9

   ②当AB=AE时, t=9－2

③当BA=BE时，t=12－