Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为1，E，F是正方形边上的点，BF⊥CE于点P，且CP=2PE．
求：BF的长．

Answer 1

分析：首先由CP=2PE，设PE=x，则可得CP=2x，EC=CP+PE=3x，然后由四边形ABCD是正方形，BF⊥CE，易证得△BCP∽△ECB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EC的长，又由△ABF≌△BCE，即可求得BF的长．

解答：解：∵CP=2PE，
∴设PE=x，则CP=2x，EC=CP+PE=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC=1，
∵BP⊥EC，
∴∠BPC=∠EBC=90°，
∵∠BCP=∠ECB，
∴△BCP∽△ECB，
∴

BC

EC

=

CP

BC

，
即

1

3x

=

2x

1

，
解得：x=

6

6

，
即EC=3x=

6

2

，
∵∠BCP+∠PBC=90°，∠ABF+∠PBC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
在△ABF和△BCE中，

∠A=∠EBC=90° AB=BC ∠ABF=∠BCE

，
∴△ABF≌△BCE，
∴BF=EC=

6

2

．

点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．