Question

已知：直线 与x轴和y轴交于点A、C两点，抛物线经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）设点P时直线AC上的一点，且S_ΔABP ：S_ΔBPC =1 ：3，求点P的坐标。
（3）直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）A（-3,0），C（0,6）  得抛物线为y=-x²-x+6       
∴B（2，0）
（2）过点B作BD⊥AC于D，∵S⊿ABP ：S⊿BPC =1 ：3，
    ∴AP：PC=1：3，由勾股定理得：
   当点P为线段AC上一点，过点P作PH⊥x轴于点H
    ∴， ∴   ∴     ∴    ∴
    ∴P 当点P在CA的延长线上时，同理可得点P的坐标为P
    ∴点P的坐标为或
（3）存在a的值，使得∠MON=90°
   设M，
  由方程组得
 
  
  若∠MON=90°作MH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G     易证Rt⊿MHO∽Rt⊿OGN 
    ∴   ∴
   得