Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，点D是边BC所在的直线上的动点（点D不与B、C重合），过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）求证：AF=DE；
（2）若AC=5，DE=6，则DF= ．
（3）试探究：D在不同位置时，DE，DF，AC具有怎样的数量关系，直接写出结论：
①当点D在线段BC上时，关系是：；
②当点D在线段BC延长线上时，关系是：；
③当点D在线段CB延长线上时，关系是：；
（4）请选择（3）中你探究获得的其中一个结论证明之．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴AF=DE

（2）1或11
（3）DE+DF=AC；DE﹣DF=AC；DF﹣DE=AC
（4）

解：选择：①；同（1）得：四边形AEDF是平行四边形，

∴DF=AE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵DF∥AB，

∴∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠ACB，

∴DF=CF，

∵AF+CF=AC，

∴DE+DF=AC

【解析】（2）解：分两种情况：

① 如图2所示：
同（1）得：四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDE，
∴BE=DE=6，
∴DF=AE=BE﹣AB=6﹣5=1；
②如图2所示：同①得：DF=AE，BE=DE=6，
∴DF=AE=6+5=11；
综上所述：DF的长为1或11；
所以答案是：1或11；
·（3）①由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF+CF，
∴DE+DF=AC；
所以答案是：DE+DF=AC；
②由（1）（2）得：DE=AF，DF=CF，
∵AC=AF﹣CF，
∴DE﹣DF=AC；
所以答案是：DE﹣DF=AC；
③由（1）（2）得：DE=AF，DF=AE，BE=DE，
∵AB=AE﹣BE，AC=AB，
∴DF﹣DE=AC；
所以答案是：DF﹣DE=AC；
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的性质，需要了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．