Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

 

Answer 1

【答案】

可求证∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°AE＝AF.∴四边形AEGF是正方形.

（2）AD=12

【解析】

试题分析：(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF .

∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°.

又∵AD⊥BC

∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°.

又∵AE＝AD，AF＝AD

∴AE＝AF.

∴四边形AEGF是正方形.

(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x.

∵BD＝4，DC＝6

∴BE＝4 ，CF＝6

∴BG＝x－4，CG＝x－6

在Rt△BGC中，BG²＋CG²＝BC²

∴( x－4)²＋(x－6)²＝10².

化简得，x²－10x－24＝0 

解得x₁＝12，x₂＝－2（舍去）

所以AD＝x＝12

考点：四边形与一元二次方程探究

点评：本题难度较大，主要考查学生对四边形判定及一元二次方程综合应用的掌握能力，为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想，运用到考试中去。