Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs。  

（1）求证：△AMN∽△ABC；     

（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？       

（3）把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y 关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

 

  

Answer 1

解：（1）∵，∠A=∠A．

          ∴ △AMN ∽ △ABC．                    

（2）在Rt△ABC中，BC ＝=10．

          由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴  

∴ ，

∴⊙O的半径r=

可求得圆心O到直线BC的距离d=

 ∵⊙O与直线BC相切

∴=． 解得=

当=时，⊙O与直线BC相切            

（3）当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点． 

故以下分两种情况讨论：

①当0＜≤1时，．  

∴ 当＝1时，                 

② 当1＜＜2时， 设MP交BC于E，NP交BC于F

MB=8-4，MP=MA=4

∴PE=4-（8-4）=8-8

   

 ∴ 当时，．   

 综上所述，当时，值最大，最大值是8