题目内容

在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，已知CD=4，则BC=________．

4+4 $\text{[math]}$
分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质，可得DE=CD=4，然后设BC=x，由S_△ABC=S_△BCD+S_△ABD，可得方程x²=4x+4 $\text{[math]}$ x，继而求得答案．
解答：

解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD是△ABC的角平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=4，
设BC=x，
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴AC=x，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x，
∵S_△ABC=S_△BCD+S_△ABD，
∴ $\text{[math]}$ AC•BC= $\text{[math]}$ BC•CD+ $\text{[math]}$ AB•DE，
即AC•BC=BC•DE+AB•DE，
∴x²=4x+4 $\text{[math]}$ x，
解得：x=0（舍去）或x=4+4 $\text{[math]}$ ，
∴BC=4+4 $\text{[math]}$ ．
故答案为：4+4 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了角平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．