Question

如图，过矩形ABCD（AD>AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连结AF和CE.

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE²=AC·AP．

Answer 1

证明：（1）由已知可知EF⊥AC，AO=CO        ………………1分

∵AD∥BC

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO

∴△AOE≌△COF                    ………………3分

∴EO=FO

∴四边形AFCE是菱形。              ………………4分

（2）∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE

∴△AOE∽△AEP                             ………………5分

∴，得AE²=AO·AP                  ………………7分

又AC=2AO

∴2AE²=AC·AP                              ………………8分