题目内容

如图，已知A是⊙O上一点，以A为圆心作圆交⊙O于B、C两点，E是弦BC上一点，连接AE并延长⊙O于D，连接BD、CD．设∠BDC=2α．
（1）求证：BD•CD=AD•ED；
（2）若ED：AD= $数学公式$ cos²α，求作一个以 $数学公式$ 和 $数学公式$ 为根的一元二次方程，并求出 $数学公式$ 的值．

（1）证明：如图，连接AB、AC．
∵A是⊙O上一点，以A为圆心作圆交⊙O于B、C两点，
∴AB=AC， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ADB=∠ADC，．
又∵∠BAD=∠BCD，
∴△DBA∽△DEC，
∴BD：DE=AD：CD，
∴BD•CD=AD•ED；

（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F．则F为BC的中点．
∵∠BDC=2α．
∴∠ACB=∠ABC=α，则FC=AC•cosα，
∴BC=2FC=2AC•cosα．
∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
同理，△AEC∽△ACD，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2cosα．
又由（1）知，BD•CD=AD•ED，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos²α，
∴以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为根的一元二次方程为x²-2cosα•x+ $\text{[math]}$ cos²α=0．
解得，x₁= $\text{[math]}$ cosα，x₂= $\text{[math]}$ cosα．
当BD＜CD时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当BD＞CD时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3．
分析：（1）如图，连接AB、AC．通过证明△DBA∽△DEC，得到对应边成比例，即BD：DE=AD：CD，所以BD•CD=AD•ED；
（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F．则F为BC的中点．通过△ABE∽△ADB的对应边成比例得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．通过△AEC∽△ACD的对应边成比例得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后求得以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为根的一元二次方程两根之和和两根之积分别是 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2cosα， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos²α，所以该方程为x²-2cosα•x+ $\text{[math]}$ cos²α=0．解得，x₁= $\text{[math]}$ cosα，x₂= $\text{[math]}$ cosα．需要分类讨论：当BD＜CD时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；当BD＞CD时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3．
点评：本题综合考查了相交两圆的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质以及一元二次方程等知识点．难度比较大．