题目内容
如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，点D在边BC的反向延长线上，且DB=3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC=∠D，设AD=x，BC=y．（1）求线段CE的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．
分析：（1）根据等腰三角形的性质及条件得出△DBA∽△ACE，就可以得出
=
，从而得出结论；
（2）由△DBA∽△ACE可以得出
=
，进而可以求出AE，再根据△EAC∽△EDA可以得出
=
再由条件就可以求出解析式，根据三角形的三边关系就可以求出自变量的取值范围；
（3）根据条件求得△CAB∽△CDA，就可以得出
=
，从而得出
=
，再将y的值代入就可以求出x的值．
| DB |
| AC |
| AB |
| CE |
（2）由△DBA∽△ACE可以得出
| AD |
| AE |
| AB |
| CE |
| AC |
| AD |
| EA |
| ED |
（3）根据条件求得△CAB∽△CDA，就可以得出
| CA |
| CD |
| AB |
| DA |
| 2 |
| 3+y |
| 2 |
| x |
解答：解（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴
=
，
∵AB=AC=2，DB=3
∴
=
∴CE=
；
（2）∵△DBA∽△ACE，
∴
=
，
∵AD=x，AB=2，CE=
，
∴AE=
x．
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴
=
．
∵BC=y，
∴ED=DB+BC+CE=
+y，
∴
=
，
∴y=
x2-
．
根据三角形的三边关系可以得出：
0＜y＜4，
∴0＜
x2-
＜4，
∴
＜x＜5．
（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴
=
，
∴
=
，
即3+
x2-
=x，
解得x1=4，x2=-1（舍去），
即AD=4．
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴
| DB |
| AC |
| AB |
| CE |
∵AB=AC=2，DB=3
∴
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| CE |
| 4 |
| 3 |
（2）∵△DBA∽△ACE，
∴
| AD |
| AE |
| AB |
| CE |
∵AD=x，AB=2，CE=
| 4 |
| 3 |
∴AE=
| 2 |
| 3 |
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴
| AC |
| AD |
| EA |
| ED |
∵BC=y，
∴ED=DB+BC+CE=
| 13 |
| 3 |
∴
| 2 |
| x |
| ||
|
∴y=
| 1 |
| 3 |
| 13 |
| 3 |
根据三角形的三边关系可以得出：
0＜y＜4，
∴0＜
| 1 |
| 3 |
| 13 |
| 3 |
∴
| 13 |
（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB
．∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴
| CA |
| CD |
| AB |
| DA |
∴
| 2 |
| 3+y |
| 2 |
| x |
即3+
| 1 |
| 3 |
| 13 |
| 3 |
解得x1=4，x2=-1（舍去），
即AD=4．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，角平分线的性质的运用，相似三角形的性质求函数的解析式的运用，三角形的三边关系确定自变量的取值范围的运用，在解答者中运用角的关系求三角形相似是关健．
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