Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是10+2

13

；
④四边形ACEB的面积是16．
则以上结论正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②④

Answer 1

分析：证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2

3

，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2

13

，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．

解答：解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=2

3

，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=2

3

，
∴CB=4

3

，
∴AB=

AC2+BC2

=2

13

，
∴四边形ACEB的周长是10+2

13

故③正确；
④四边形ACEB的面积：

1

2

×2×4

3

+

1

2

×4

3

×2=8

3

，故④错误，
故选：A．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及三角函数的应用，关键是利用三角函数值计算出CB长．